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可微分的意思是 导数 存在……
……并且，导数要存在于函数的定义域 里的每一个值。
定义域定义域最简单的意思就是 |
 |
若没有特别声明，我们假设定义域是所有实数。
对于 x2 + 6x，它的导数 2x + 6 存在于所有实数上。
所以：x2 + 6x 是可微分的。
可是，来看看这个：
| |x| 的图像这样： |  |
在 x=0 有一个很尖锐的改变！
在 x=0，导数存在吗？
我们可以用任何一个值 "c" 来测试，看看 极限 存在与否：
| lim h→0 |
f(c+h) − f(c) |
| h |
我们来计算 |x| 在 0 的极限：
| lim h→0 |
|0+h| − |0| | = | lim h→0 |
|h| − 0 | = | lim h→0 |
|h| |
| h | h | h |
为什么不存在？我们来看左边和右边的极限：
| 左边： | 右边： | |||||||||
|
|
两边的极限不相同，所以极限不存在。
所以函数 f(x) = |x| 是不可微分的
你可以这样想：
当我们把图无穷放大，函数会不会越来越像条直线？
绝对值函数在无穷放大后还是尖锐的。
我们来多看几个例子：
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下取整和上取整函数 在整数是不可微分的，因为在整数值之间是不连续的，但函数对非整数是可微分的。 |
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立方根函数 x(1/3) 它的导数是 (1/3)x-(2/3) （根据幂次方法则） |
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在 x=0 时，函数是未定义的，所以根本不可以问函数在那里是不是可微分的。 若函数是可微分的，它至少需要是已定义的！ |
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趋近 x = 0 时，函数越来越快地上下急剧改变，所以并不"趋近"任何一个值。 所以这函数也是不可微分的。 |
可是，我们可以改变定义域！
定义域是从（但不包括）0开始（所有正值）。
这个函数是可微分的。
而这也是"绝对正"确的 : )
因此，函数 g(x) = |x| 在定义域 (0,+∞) 内是可微分的。
我们也可以用其他的方法去限制定义域，从而避开 x=0 （例如所有负实数、所有非零实数等）。
因为若一个函数是可微分的，我们便可以用微积分来处理它。
若函数是可微分的，它也是 连续 的。
可微分 ⇒ 连续
但函数可以是 连续的而不是可微分的。例如绝对值函数在 x=0 是连续的。
