上凹与下凹

上凹 是当坡度增大：
下凹 是当坡度减小：

若坡度不变（直线）呢？两者都是！见 脚注。

更多例子：

寻找在哪里……

通常我们需要找曲线在 哪里 上凹或下凹：

定义

重点是连接曲线上任何两点的直线不会与曲线交叉：

我们为这个来生成一个公式！

首先，直线：以任何两个值 a 和 b （在目前考虑的区间里）：

在 a 和 b 之间，x 可以用这个公式来表达（t 的值是从 0 到 1）：

x = ta + (1−t)b

• 当 t=0 时， x = 0a+1b = b
• 当 t=1 时， x = 1a+0b = a
• 当 t 在 0 和 1 之间时，x 的值是在 a 和 b 之间

求在 x 值时线的高度（y 值）：

当 x = ta + (1−t)b： 曲线在 y = f( ta + (1−t)b ) 直线在 y = tf(a) + (1−t)f(b)

（在 上凹 的情况下），直线不能在曲线下面：

在 下凹 的情况下，直线不能在曲线上面 （≤ 便成 ≥）：

这便是 上凹 和 下凹 的定义

怎样记？

简单！凹进去的在上面就是上凹，凹进去的在下面就是下凹！

微积分

导数 在这里用得着！函数的导数就是坡度。

• 若坡度连续增大，函数是 上凹。
• 若坡度连续减小，函数是 下凹。

二阶导数 可以告诉我们坡度是是连续增大或连续减小

• 若二阶导数是 正数，函数是 上凹。
• 若二阶导数是 负数，函数是 下凹。